epsiloniser

MathématiquesReformuler (de manière équivalente) certains énoncés topologiques portant sur des espaces métriques ou des objets utilisant cette structure (comme la séparation, la connexité ou la compacité d'un espace métrique, la convergence d'une suite à valeur dans un espace métrique, la continuité ou la continuité uniforme d'une fonction entre deux espaces métriques, ...) en utilisant la base de voisinages définie par l'ensemble des boules ouvertes.Il reste à epsiloniser pour prouver la convergence uniforme partout...Pourtant ce n’est pas si dur me semble-t-il. Au voisinage d’un point a∈U tel que f′(a)≠0, la fonction f(z) se comporte comme f(a)+f′(a)(z−a), qui est une bijection affine de C dans lui-même. Reste à epsiloniser correctement.Soit (E,δ) un espace métrique, e un élément de E et (x(n)) une suite d'éléments de E (i.e. une fonction de N dans E). On pose N'=N∪{∞} qu'on munit d'une structure métrique donnée par la distance d définit par : ∀n,m∈N', d(n,m)=|2^(-n)-2^(-m)| avec la convention 2^(-∞)=0. On pose alors X, fonction de (N',d) dans (E,δ) définit sur N par : ∀n∈N, X(n)=x(n). On dit alors que la limite en ∞ de (x(n)) est e ssi X tend vers e quand n tend vers ∞ en restant dans N ssi ∀V'∈V(e), ∃V∈V(∞), X(V∩N)⊆V'. Et si on epsilonise, on vérifie bien que l'énoncé précédent équivaut à : ∀Ɛ>0, ∃k∈N, ∀n∈N, [n≥k => (δ(X(n),e)=)δ(x(n),e)<Ɛ].

(Sens figuré)